介绍：这是一篇有关于游戏的论文，而这个我游戏主要的功能是通过数学公式模拟四维空间中物体的运动方式（用三维截面展示，这样才能拥有模拟画面，人类才能理解）。
这篇论文是比较深奥的学术论文形式，受众读者显然不包括我这样的路人甲，我大概翻译了一下，无法理解（我不具备相关知识储备），所以推荐它给大家的意义有两个：
1.用作硬科幻脑洞的来源
2.用作小说中的理论素材（比如安排某人解释某种科学设定以服务剧情）
以下是论文的部分翻译和英文原稿：
翻译：
刚体动力学
MARC TEN BOSCH，美国MTB设计公司
我提出了一种刚体动力学的公式，该公式与空间的尺寸无关。我使用几何代数描述了刚体的状态和运动方程。使用扩展到nD的碰撞检测算法可以解决碰撞和物体之间的接触。我的实践结果是4D，但此处描述的技术适用于任意维度。我通过对它们进行三维切片来显示这些四维刚体。我允许用户实时操纵这些身体。
CCS概念：•计算方法→物理模拟；碰撞检测；虚拟现实。
其他关键词和短语：刚体，维，物理，几何代数，第四维。
1 介绍：
我们对物理空间的体验是三维的。因此，到目前为止，基于物理的模拟（物理引擎）已经集中并限制在二维和三维情况下。然而，使用所需方程式的适当公式，可以将它们扩展到更高的维度。几何代数提供了一个简单的与维度无关的公式。这样，就可以实时操纵相互碰撞的n维状模拟，就好像它们是真实的物体一样，这使得它们的抽象度大大降低，与大多数人对其的体验形成鲜明对比。尽管人们已经对理解和可视化高维空间和其他抽象的数学概念给予了关注，但大多数情况下，它一直仅限于可视化这些概念而没有任何物理性或对象与对象间的关系。
贡献。本文的贡献包括：
(1) 将基于几何代数的经典3D刚体动力学公式扩展到nD。通过将几何代数算子表示为矩阵，可以特别构造，对角化和变换惯性张量，以任意nD简单网格适用于任何n，这是一种简单的方法。这样就可以在nD中公式化欧拉方程，例如在无扭矩条件下研究4D欧拉方程的情况。
(2) 计算nD中的碰撞和接触处理，包括静摩擦和动摩擦。我给出了闵可夫斯基差和基于几何代数的分离轴定理碰撞检测方法的nD公式。
(3) 一个与4D对象互动的方法，类似于我们对现实的3D体验。
2 相关工作：
3D刚体动力学的交互式仿真是一个广阔的领域。本 der等。[2014] 提供调查。
[卡梅伦1990] 通过考虑随时间推移每个对象的拉伸，已将3D连续碰撞检测问题表述为离散4D碰撞问题。
可视化4D对象本身是一个有趣且具有挑战性的问题，历史悠久[阿博特1884; 班乔夫1990; Chu等。 2009; 希尔伯特和科恩·沃森1952]. 已经提出了许多处理4D状模拟的方法[Y安等人。2012; 张和汉森 2006].
几何代数在称为多元向量的元素空间上操作，向量是子空间。尽管矢量可以看作是定向的线段，但是其他元素可以表示定向的区域（双矢量），体积（细线）等。 几何代数还定义了与这些元素的平移和旋转相对应的运算。书经麦克唐纳[2011]和过程冈恩和德肯宁克[2019] 提供介绍。Dorst等。[2009] 提供在程序中实现几何代数的介绍。多兰和拉森比[2003] 将几何代数应用于3D刚体。
凯利[1846] 首先提出将欧拉方程推广为nD。主要使用矩阵分析对问题进行了分析研究，该分析很快就变得复杂了（例如[辛克莱 和赫尔塔多2005]).
由于几何代数的简单性，通用性和无坐标的性质，我选择使用几何代数，这使得运动方程与推广到nD时的3D情况保持相同。
射影和共形几何代数可以组合，用将平移和旋转分量转换为单个方程式的方式，类似于均质坐标允许矩阵将这两个分量都表示为单个转换。冈恩 [2011] 使用射影几何代数以公制中性的方式来表示2D和3D刚体运动，该运动也适用于非核空间。为了简单起见，我选择不使用此公式。
3 背景
本节简要回顾了几何代数及其在3D刚体动力学中的应用，如多兰和拉森比 [2003]. 但是，这些方程在nD中保持不变。
使用几何代数，可以将大于1维的刚体演化方程写为：
x和R是位置（向量）和方向（转子），v是速度（向量），w是角速度（双向量），F是净力（矢量），m是质量（标量），τ是净转矩（双矢量），L是角动量（双矢量）。 t下标表示时间导数。用处稍后介绍。
角速度表示为双矢量。双矢量形成于两个向量的外部乘积：B = a ∧ b，具有向量坐标（n，2），是每一对不同的正交坐标基本向量之一。这些组件可以相同的方式存储在内存中，一个向量的形式是由k个数字组成的连续数组。
如果粒子从某个原点起有动量p和位置矢量，则将围绕原点的质点角动量定义为双矢量L = x∧ p。
通常的表示涉及叉积，仅在3D中定义。在三维上，矢量与双矢量“对偶”：粗略地说，在3D中，与直线（矢量）正交的空间是一个平面（双矢量）。这意味着在3D模式下，人们可以在某种程度上互换使用矢量和双矢量。这导致将使用几何代数将其应用于不同的坐标系，并使方程在任何数量的维度上均可工作。
三维转子提供了旋转的表示形式，可替代四元数（3D）和可在任意多个维度上工作的复数（2D）。在矢量a和b定义的平面中旋转两倍于这两个矢量之间的角度的转子，由a和b的几何乘积定义：R = ab= a · b+ a ∧ b.
它具有一个标量项和一个双矢量项，类似于复数和四元数的实部和虚部。这种和称为多向量。几何积可以扩展到多矢量，从而扩展到转子本身。就像四元数一样，两个转子的乘积会导致一个新的转子，该转子编码一个接一个地应用两个旋转。要使用转子旋转矢量，请使用以下公式：x ′ = RxR˜。R˜表示R的逆向，与四元数和复数的共轭相似。转子的乘积产生多个向量，这些向量是m-向量的总和，其中m是偶数且小于或等于n（这形成了一个称为偶数子代数的代数）。
在3D中，普通转子仍然仅具有标量部分和双矢量部分（具有3个分量），即两个转子的乘积仍然导致可以用单个旋转平面表示的转子。但是在4D中，对象可以绕两个独立的旋转平面旋转，同时：通用转子具有标量部分，双矢量部分（具有6个分量）和4矢量部分（仅具有一个分量）。因此，我将一个二维转子以8个数字的连续数组存储在内存中。
在人体的参考系中，人体上点的瞬时速度为：v+r•w。所使用的点积（•）是点积对多个向量的概括，有时也称为左收缩。
角动量通过线性映射与角速度相关……
原稿：
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